کنترل خطی

کنترل خطی شاخه‌ای از مهندسی کنترل هست که در اون سیستم‌ها با معادلات خطی مدل می‌شن.
یعنی رابطه بین ورودی و خروجی سیستم خطیه (اصل جمع‌پذیری و همگنی برقرار است).

---

 هدف کنترل خطی:

هدف درس کنترل خطی اینه که بتونی:

• رفتار سیستم‌های دینامیکی رو تحلیل کنی (پاسخ زمانی و فرکانسی)

• پایداری سیستم رو بررسی کنی

• و در نهایت کنترلری طراحی کنی که سیستم رفتار مطلوبی داشته باشه (مثلاً سریع‌تر، پایدارتر یا دقیق‌تر).

---

 مفاهیم کلیدی کنترل خطی:

1. مدل‌سازی سیستم‌ها کنترل خطی:
   تبدیل سیستم‌های فیزیکی (مثل موتور، تانک، بازو‌ی ربات) به معادلات دیفرانسیل.

2. تابع تبدیل (Transfer Function) کنترل خطی:
   رابطه بین ورودی و خروجی در حوزه لاپلاس.
   مثلا:

   G(s)=Y(s)U(s)G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}G(s)=U(s)Y(s)​

3. پاسخ زمانی سیستم کنترل خطی:
   بررسی رفتار خروجی نسبت به ورودی در طول زمان (مثل پاسخ پله، ضربه، رمپ و غیره).

4. پایداری (Stability) کنترل خطی:
   مهم‌ترین بخش درس!
   بررسی اینکه آیا سیستم در طول زمان به حالت تعادل برمی‌گرده یا نه.
   روش‌ها:

   • روت-لوکوس (Root Locus)

   • نایکویست (Nyquist)

   • بود (Bode)

5. کنترل‌گرها (Controllers) در کنترل خطی:
   طراحی کنترلرهایی مثل:

   • P (تناسبی)

   • PI (تناسبی-انتگرالی)

   • PID (تناسبی-انتگرالی-مشتقی)

---

 ابزارهای مهم ریاضی کنترل خطی:

• تبدیل لاپلاس کنترل خطی

• نمودارهای بلوکی کنترل خطی

• جبر ماتریسی کنترل خطی

• فضاهای حالت (State Space Representation) کنترل خطی

---

 کاربردها کنترل خطی:

• کنترل سرعت موتورهای الکتریکی

• پایداری پهپادها و ربات‌ها

• کنترل دما در سیستم‌های گرمایشی

• سیستم تعلیق خودرو

• کنترل موقعیت بازوی رباتیک

۱. تعریف سیستم دینامیکی

سیستم دینامیکی سیستمیه که خروجی اون به ورودی در طول زمان وابسته‌ست.
مثلاً:

• دمای اتاق (ورودی: توان بخاری، خروجی: دما)

• سرعت ماشین (ورودی: پدال گاز، خروجی: سرعت)

---

۲. مدل ریاضی سیستم کنترل خطی

 الف) معادلات دیفرانسیل کنترل خطی

رفتار سیستم‌های پیوسته معمولاً با معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت توصیف میشه:

andny(t)dtn+⋯+a1dy(t)dt+a0y(t)=bmdmu(t)dtm+⋯+b0u(t)a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + \dots + b_0 u(t)an​dtndny(t)​+⋯+a۱​dtdy(t)​+a۰​y(t)=bm​dtmdmu(t)​+⋯+b۰​u(t)

• y(t)y(t)y(t): خروجی

• u(t)u(t)u(t): ورودی

• ضرایب ai,bia_i, b_iai​,bi​: ثابت‌های سیستم

---

 ب) تابع تبدیل (Transfer Function) کنترل خطی

با استفاده از تبدیل لاپلاس، معادله دیفرانسیل به شکل ساده‌تری درمیاد:

G(s)=Y(s)U(s)=bmsm+⋯+b0ansn+⋯+a0G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{a_n s^n + \dots + a_0}G(s)=U(s)Y(s)​=an​sn+⋯+a۰​bm​sm+⋯+b۰​​

 این تابع نشون می‌ده که سیستم در حوزه‌ی فرکانس (s-domain) چطور ورودی رو به خروجی تبدیل می‌کنه.

---

 ج) مثال ساده

فرض کن یک سیستم داریم که رفتار اون با معادله زیر توصیف میشه:

dy(t)dt+3y(t)=2u(t)\frac{dy(t)}{dt} + 3y(t) = 2u(t)dtdy(t)​+۳y(t)=۲u(t)

با تبدیل لاپلاس:

sY(s)+3Y(s)=2U(s)⇒G(s)=Y(s)U(s)=2s+3sY(s) + 3Y(s) = 2U(s) \Rightarrow G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2}{s + 3}sY(s)+۳Y(s)=۲U(s)⇒G(s)=U(s)Y(s)​=s+۳۲​

 تابع تبدیل سیستم به‌دست اومد.

---

۳. انواع سیستم‌ها از نظر ورودی و خروجی

نوع سیستم	توضیح	مثال
SISO	یک ورودی و یک خروجی	کنترل دما
MIMO	چند ورودی و چند خروجی	کنترل ربات یا هواپیما

---

۴. انواع پاسخ سیستم

وقتی ورودی خاصی (مثلاً پله) به سیستم بدی، خروجی معمولاً شامل دو قسمت میشه:

1. پاسخ ماندگار (Steady State Response) کنترل خطی→ رفتار نهایی سیستم بعد از گذشت زمان

2. پاسخ گذرا (Transient Response) کنترل خطی → رفتار اولیه سیستم هنگام تغییر حالت

 هدف این فصل کنترل خطی:

اینه که بفهمیم یک سیستم وقتی ورودی خاصی می‌گیره (مثل پله یا ضربه)، چطور در طول زمان واکنش نشون می‌ده
و اینکه آیا پایدار می‌مونه یا ناپایدار میشه.

---

 ۱. مفهوم پاسخ زمانی (Time Response) کنترل خطی

پاسخ زمانی یعنی رفتار خروجی y(t)y(t)y(t) در برابر ورودی u(t)u(t)u(t) در طول زمان.

مثلاً اگه ورودی پله بدیم (یعنی ناگهان یه مقدار ثابت وارد کنیم)، خروجی معمولاً به‌صورت تدریجی بالا می‌ره تا به مقدار نهایی برسه.

---

 اجزای پاسخ زمانی کنترل خطی:

1. پاسخ گذرا (Transient Response):
   بخش اولیه پاسخ که نوسان یا تغییر سریع داره و بعد از مدتی از بین می‌ره.

2. پاسخ ماندگار (Steady-State Response):
   بخشی از پاسخ که بعد از گذشت زمان زیاد باقی می‌مونه (و دیگه تغییر زیادی نمی‌کنه).